CPM 计算方法
这是 PMGT1865（Project Time, Cost and Resources）期末前整理的 Week 2 和 Week 3 内容：CPM 和重叠网络。全文一条主线：画图，前推，后推，算 Float。
先记住这四句
- 前推求 ES、EF，后推求 LS、LF，最后用 LS − ES 求 Float。
- 前推遇到 merge（多个前置汇入）取最大，后推遇到 burst（多个后续分出）取最小。
- Float 为 0 的活动连成的链，就是关键路径。
- 重叠网络只是换了每条连接用的端点：关系名的两个字母，就是“用前置的哪个端点，去限制后续的哪个端点”。
1. CPM 的三步
| 步骤 | 规则 |
|---|---|
| 前推 Forward pass | 起点 ES = 0；EF = ES + 工期；后续的 ES 取所有前置 EF 的最大值 |
| 后推 Backward pass | 终点 LF = 项目 EF；LS = LF − 工期；前置的 LF 取所有后续 LS 的最小值 |
| Float | Float = LS − ES（也等于 LF − EF）；Float 为 0 的链是关键路径 |
Float 要会用文字解释：
- 非关键活动的延误不超过 Float，项目总工期不变；
- 延误超过 Float 的部分，会推迟整个项目；
- 关键活动（Float = 0）延误 1 天，项目就延误 1 天。
Float 是可以推迟的时间，不是必须用掉的时间。
2. 例题 1：前推、后推、Float
A 3 天；B 4 天、C 6 天都在 A 之后；D 2 天在 B 之后；E 5 天在 C 之后；F 3 天，D 和 E 都做完才能开始。
图中蓝色是 ES / EF，绿色是 LS / LF，琥珀色是 Float，红框是关键活动。
前推：A 是 0–3；B 是 3–7；C 是 3–9；D 是 7–9；E 是 9–14。F 是 merge：D 的 EF 是 9，E 的 EF 是 14，取最大的 14，所以 F 是 14–17，项目工期 17 天。
后推：F 的 LF = 17，LS = 14；D 的 LF = 14，LS = 12；E 的 LF = 14，LS = 9；B 的 LF = 12，LS = 8；C 的 LF = 9，LS = 3。A 是 burst：B 的 LS 是 8，C 的 LS 是 3，取最小的 3，所以 A 的 LF = 3，LS = 0。
| 活动 | 工期 | ES | EF | LS | LF | Float |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 |
| B | 4 | 3 | 7 | 8 | 12 | 5 |
| C | 6 | 3 | 9 | 3 | 9 | 0 |
| D | 2 | 7 | 9 | 12 | 14 | 5 |
| E | 5 | 9 | 14 | 9 | 14 | 0 |
| F | 3 | 14 | 17 | 14 | 17 | 0 |
结论：工期 17 天，关键路径是 A → C → E → F（3 + 6 + 5 + 3 = 17）。B 和 D 各有 5 天 Float，但它们在同一条支路上（4 + 2 = 6 天，比 C → E 那条支路的 11 天短 5 天），共用这 5 天，不是各 5 天。
3. 重叠网络：四种关系
前面所有箭头都是 FS（前一个做完，后一个才开始）。重叠网络再加入三种关系，每种都可以带 lag（用 LT 表示）。设 I 是前置活动，J 是后续活动：
| 关系 | 含义 | Forward 约束 | Backward 约束 |
|---|---|---|---|
| FS | I 做完，J 才开始 | ES(J) ≥ EF(I) + LT | LF(I) ≤ LS(J) − LT |
| SS | I 开始后，J 才能开始 | ES(J) ≥ ES(I) + LT | LS(I) ≤ LS(J) − LT |
| FF | I 做完后，J 才能做完 | EF(J) ≥ EF(I) + LT | LF(I) ≤ LF(J) − LT |
| SF | I 开始后，J 才能做完 | EF(J) ≥ ES(I) + LT | LS(I) ≤ LF(J) − LT |
记忆法：关系名的第一个字母是前置活动 I 的端点（Start 或 Finish），第二个字母是后续活动 J 的端点。FS 就是“用 I 的 Finish 去限制 J 的 Start”。
三个注意点：
- FF 和 SF 约束的是 J 的 EF，要再用
ES = EF − 工期换算成 ES。 - Lag 是两者之间至少要隔开的时间，不是“最多可以延迟”。
- 有多个约束时，前推先统一换成 ES 再取最大，后推先统一换成 LS 再取最小。
4. 例题 2：SS 和 FF
A 6 天；B 4 天，A → B 是 SS+2；C 3 天，A → C 是 FF+2；D 2 天，B → D 和 C → D 都是 FS。
前推：A 是 0–6。B：SS+2，ES = 0 + 2 = 2，EF = 6。C：FF+2，EF ≥ 6 + 2 = 8，所以 ES = 8 − 3 = 5。D：B 的 FS 要求 ES ≥ 6，C 的 FS 要求 ES ≥ 8，取 8，EF = 10。
后推：D 的 LF = 10，LS = 8；B 的 LF = 8，LS = 4；C 的 LF = 8，LS = 5。A 同时受两条连接限制：来自 B（SS+2）的 LS(A) ≤ 4 − 2 = 2；来自 C（FF+2）的 LF(A) ≤ 8 − 2 = 6，也就是 LS(A) ≤ 6 − 6 = 0。取最小，LS(A) = 0，LF(A) = 6。
| 活动 | 工期 | ES | EF | LS | LF | Float |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 6 | 0 | 6 | 0 | 6 | 0 |
| B | 4 | 2 | 6 | 4 | 8 | 2 |
| C | 3 | 5 | 8 | 5 | 8 | 0 |
| D | 2 | 8 | 10 | 8 | 10 | 0 |
结论：工期 10 天，关键路径是 A → C → D，B 有 2 天 Float。检验：A 的 EF 6，加 FF 的 lag 2，再加 D 的 2 天，6 + 2 + 2 = 10。
如果所有箭头都按 FS 算，A → B → D 是 6 + 4 + 2 = 12 天，SS 和 FF 的重叠把工期缩短到 10 天。另外，重叠网络里关键路径不一定是最长的串联路径，要看每条连接是否“绷紧”，这里绷紧的是 A → C 的 FF+2。
5. 易错点
- merge 和 burst 记反：前推 merge 取最大，后推 burst 取最小。
- SS 用前置的 ES，FF 用前置的 EF，不要都当成 FS 来算。
- FF 和 SF 先求出 EF，再减工期得到 ES。
- 后推时同一个活动有多个后续，每条连接各算一个，统一成 LS 后取最小。
- Lag 是“至少隔开”，不是“最多可以延迟”。
- Float 公式是 LS − ES，不是 ES − LF。
- 排日期时第 1 天计入：8 天的活动从周一 17 Aug 开始，在周三 26 Aug 结束，后续活动从下一个工作日开始。
6. 自测
- 某活动 ES = 4，LS = 7，Float 是多少？它延误 2 天会影响项目工期吗？
- FF+3：前置 I 的 EF = 10，后续 J 工期 4 天，J 的 ES 和 EF 各是多少？
- A 有两个后续 B 和 C，都是 FS，B 的 LS = 8，C 的 LS = 5，A 的 LF 是多少？
答案：1. Float = 7 − 4 = 3，延误 2 天不超过 Float，不影响项目工期。2. EF(J) ≥ 10 + 3 = 13，ES(J) = 13 − 4 = 9。3. 取最小的 LS，LF(A) = 5。